提示词描述

标题 1：统一特征流形空间的构建与表示 副标题 1 说明：基于乘积空间/纤维丛的特征流形定义 图像类型：概念图（3D 和 2D 的结合）。 视觉核心： 左侧：一个三维李群流形（例如，扭曲的表面），代表“姿态空间”，并在其上绘制一条轨迹曲线。 右侧：一个规则的二维/三维欧几里得空间网格，代表“工艺参数空间”（力/速度），每个网格点都标有参数值。 中间：一个融合的结构，可视化为一个“纤维丛”：以左侧流形作为“底空间”，从其上的每个点“生长”出一个小的欧几里得空间（如纤维），代表附加到每个姿态点的完整工艺参数选择集。或者，可以使用“乘积空间”图来显示两个空间如何组合成更高维度的空间，如笛卡尔积。 关键标签：底空间（姿态流形），纤维（工艺参数空间），特征流形点（纤维上的一个点）。 副标题 2 说明：工艺和轨迹信息的统一编码机制 图像类型：信息编码图。 视觉核心： 一个抽象的特征流形点（可以表示为一个发光的数据球或一个高维立方体）位于中心。 从该点发出两条清晰的解码路径： 路径 1 指向机器人/工具的姿态模型图（包括位置和方向）。 路径 2 指向工艺参数仪表板图（显示具体的力值、速度值和曲线）。 同时，指向该点的箭头表明上述两种类型的信息共同封装在这个单一的流形点中。 关键标签：统一编码，姿态信息 (x, y, z, Rx, Ry, Rz)，工艺信息 (F, n)。 副标题 3 说明：切空间和协变导数等几何工具的引入 图像类型：微分几何图。 视觉核心： 在特征流形（一个光滑的表面）上显示一条曲线（代表轨迹）。 选择曲线上的一点 P，并绘制该点的切平面（即切空间 T_pM），平面上有多个切向量。 演示协变导数的概念：沿曲线方向的向量场，其中一个向量被“平行移动”到相邻点，显示其方向在流形的内在几何结构下的变化。可以通过比较来显示欧几里得空间中的普通导数（方向不变）和流形上的协变导数（方向受表面曲率影响）之间的差异。 关键标签：点 P，切空间 T_pM，切向量，协变导数 ∇_v u，流形 M。 标题 2：力-速度共形轨迹的几何表示和定量分析 副标题 1 说明：轨迹平滑度的曲率和挠率几何表示 图像类型：曲线几何分析图。 视觉核心： 在特征流形表面上绘制一条清晰的力-速度共形轨迹曲线。 在曲线上以间隔选择多个点，并在每个点绘制一个 Frenet 标架：切向量 T（指向运动方向），法向量 N（指向“