
標題 1:統一特徵流形空間的構建與表示 副標題 1 圖示:基於積空間/纖維叢的特徵流形定義 圖像類型:概念圖(3D 和 2D 的組合)。 視覺核心: 左側:一個三維李群流形(例如,扭曲的表面),代表「姿態空間」,其上繪製一條軌跡曲線。 右側:一個規則的二維/三維歐幾里得空間網格,代表「製程參數空間」(力/速度),每個網格點都標記有參數值。 中間:一個融合的結構,視覺化為「纖維叢」:以左側流形作為「底空間」,從其上的每個點「生長」出一個小的歐幾里得空間(如纖維),代表附加到每個姿態點的一整套製程參數選擇。或者,可以使用「積空間」圖來顯示兩個空間如何組合為更高維度的空間,如笛卡爾積。 關鍵標籤:底空間(姿態流形)、纖維(製程參數空間)、特徵流形點(纖維上的一個點)。 副標題 2 圖示:製程與軌跡資訊的統一編碼機制 圖像類型:資訊編碼圖。 視覺核心: 一個抽象的特徵流形點(可以表示為發光的數據球或高維立方體)位於中心。 從這個點發出兩條清晰的解碼路徑: 路徑 1 指向機器人/工具的姿態模型圖(包括位置和方向)。 路徑 2 指向製程參數儀表板圖(顯示特定的力值、速度值和曲線)。 同時,流向該點的箭頭表示以上兩種資訊共同封裝在這個單一的流形點中。 關鍵標籤:統一編碼、姿態資訊 (x, y, z, Rx, Ry, Rz)、製程資訊 (F, n)。 副標題 3 圖示:切空間和協變導數等幾何工具的引入 圖像類型:微分幾何圖。 視覺核心: 顯示特徵流形(一個光滑的表面)上的一條曲線(代表軌跡)。 在曲線上選擇一個點 P,並繪製該點的切平面(即切空間 T_pM),平面上有多个切向量。 演示協變導數的概念:沿曲線方向的一個向量場,其中一個向量被「平行移動」到相鄰點,顯示其方向在流形的內在幾何下的變化。可以通過比較來顯示歐幾里得空間中的普通導數(方向不變)和流形上的協變導數(方向受表面曲率影響)之間的差異。 關鍵標籤:點 P、切空間 T_pM、切向量、協變導數 ∇_v u、流形 M。 標題 2:力-速度共形軌跡的幾何表示和定量分析 副標題 1 圖示:軌跡平滑度的曲率和撓率幾何表示 圖像類型:曲線幾何分析圖。 視覺核心: 在特徵流形表面上繪製一條清晰的力-速度共形軌跡曲線。 在曲線上以間隔選擇多個點,並在每個點繪製一個 Frenet 標架:切向量 T(指向運動方向)、法向量 N(指向「」