提示詞描述

標題 1：統一特徵流形空間的構建與表示 副標題 1 圖示：基於積空間/纖維叢的特徵流形定義 圖像類型：概念圖（3D 和 2D 的組合）。 視覺核心： 左側：一個三維李群流形（例如，扭曲的表面），代表「姿態空間」，其上繪製一條軌跡曲線。 右側：一個規則的二維/三維歐幾里得空間網格，代表「製程參數空間」（力/速度），每個網格點都標記有參數值。 中間：一個融合的結構，視覺化為「纖維叢」：以左側流形作為「底空間」，從其上的每個點「生長」出一個小的歐幾里得空間（如纖維），代表附加到每個姿態點的一整套製程參數選擇。或者，可以使用「積空間」圖來顯示兩個空間如何組合為更高維度的空間，如笛卡爾積。 關鍵標籤：底空間（姿態流形）、纖維（製程參數空間）、特徵流形點（纖維上的一個點）。 副標題 2 圖示：製程與軌跡資訊的統一編碼機制 圖像類型：資訊編碼圖。 視覺核心： 一個抽象的特徵流形點（可以表示為發光的數據球或高維立方體）位於中心。 從這個點發出兩條清晰的解碼路徑： 路徑 1 指向機器人/工具的姿態模型圖（包括位置和方向）。 路徑 2 指向製程參數儀表板圖（顯示特定的力值、速度值和曲線）。 同時，流向該點的箭頭表示以上兩種資訊共同封裝在這個單一的流形點中。 關鍵標籤：統一編碼、姿態資訊 (x, y, z, Rx, Ry, Rz)、製程資訊 (F, n)。 副標題 3 圖示：切空間和協變導數等幾何工具的引入 圖像類型：微分幾何圖。 視覺核心： 顯示特徵流形（一個光滑的表面）上的一條曲線（代表軌跡）。 在曲線上選擇一個點 P，並繪製該點的切平面（即切空間 T_pM），平面上有多个切向量。 演示協變導數的概念：沿曲線方向的一個向量場，其中一個向量被「平行移動」到相鄰點，顯示其方向在流形的內在幾何下的變化。可以通過比較來顯示歐幾里得空間中的普通導數（方向不變）和流形上的協變導數（方向受表面曲率影響）之間的差異。 關鍵標籤：點 P、切空間 T_pM、切向量、協變導數 ∇_v u、流形 M。 標題 2：力-速度共形軌跡的幾何表示和定量分析 副標題 1 圖示：軌跡平滑度的曲率和撓率幾何表示 圖像類型：曲線幾何分析圖。 視覺核心： 在特徵流形表面上繪製一條清晰的力-速度共形軌跡曲線。 在曲線上以間隔選擇多個點，並在每個點繪製一個 Frenet 標架：切向量 T（指向運動方向）、法向量 N（指向「」