Название 1: Построение и представление унифицированного пространства многообразий признаков Подзаголовок 1 Иллюстрация: Определение многообразия признаков на основе прямого произведения/расслоения Тип изображения: Концептуальная диаграмма (комбинация 3D и 2D). Визуальное ядро: Слева: Трехмерное многообразие группы Ли (например, скрученная поверхность), представляющее "пространство поз", с траекторной кривой, нарисованной на нем. Справа: Регулярная двухмерная/трехмерная евклидова пространственная сетка, представляющая "пространство параметров процесса" (сила/скорость), с каждой точкой сетки, помеченной значениями параметров. Посередине: Сплавленная структура, визуализированная как "расслоение": с левым многообразием в качестве "базового пространства", небольшое евклидово пространство (как волокно) "растет" из каждой точки на нем, представляя полный набор вариантов параметров процесса, прикрепленных к каждой точке позы. В качестве альтернативы можно использовать диаграмму "прямого произведения", чтобы показать, как два пространства объединяются в пространство более высокой размерности, такое как декартово произведение. Ключевые метки: Базовое пространство (Многообразие поз), Волокно (Пространство параметров процесса), Точка многообразия признаков (точка на волокне). Подзаголовок 2 Иллюстрация: Унифицированный механизм кодирования информации о процессе и траектории Тип изображения: Диаграмма кодирования информации. Визуальное ядро: В центре расположена абстрактная точка многообразия признаков (которая может быть представлена в виде светящейся сферы данных или многомерного куба). Из этой точки исходят два четких пути декодирования: Путь 1 указывает на диаграмму модели позы робота/инструмента (включая положение и ориентацию). Путь 2 указывает на диаграмму панели параметров процесса (отображающую конкретные значения силы, значения скорости и кривые). В то же время стрелки, направленные к точке, указывают на то, что вышеуказанные два типа информации совместно инкапсулированы в этой единственной точке многообразия. Ключевые метки: Унифицированное кодирование, Информация о позе (x, y, z, Rx, Ry, Rz), Информация о процессе (F, n). Подзаголовок 3 Иллюстрация: Введение геометрических инструментов, таких как касательное пространство и ковариантная производная Тип изображения: Диаграмма дифференциальной геометрии. Визуальное ядро: Показывает кривую (представляющую траекторию) на многообразии признаков (гладкая поверхность). Выберите точку P на кривой и нарисуйте касательную плоскость в этой точке (т.е. касательное пространство T_pM), с несколькими касательными векторами на плоскости. Продемонстрируйте концепцию ковариантной производной: векторное поле вдоль направления кривой, где один вектор "параллельно переносится" в соседнюю точку, показывая изменение его направления под действием внутренней геометрии многообразия. Разницу между обычной производной в евклидовом пространстве (направление не меняется) и ковариантной производной на многообразии (направление зависит от кривизны поверхности) можно показать путем сравнения. Ключевые метки: Точка P, Касательное пространство T_pM, Касательный вектор, Ковариантная производная ∇_v u, Многообразие M. Название 2: Геометрическое представление и количественный анализ конформных траекторий силы-скорости Подзаголовок 1 Иллюстрация: Геометрическое представление кривизны и кручения гладкости траектории Тип изображения: Диаграмма анализа геометрии кривой. Визуальное ядро: Нарисуйте отчетливую конформную траекторную кривую силы-скорости на поверхности многообразия признаков. Выберите несколько точек на кривой через интервалы и нарисуйте френелевский репер в каждой точке: касательный вектор T (указывающий в направлении движения), нормальный вектор N (указывающий в ""
