Título 1: Construção e Representação do Espaço Unificado de Variedades de Características Subtítulo 1 Ilustração: Definição de Variedade de Características Baseada em Espaço Produto/Fibrado Tipo de Imagem: Diagrama Conceitual (Combinação de 3D e 2D). Núcleo Visual: Esquerda: Uma variedade de grupo de Lie tridimensional (por exemplo, uma superfície torcida) representando o "espaço de pose", com uma curva de trajetória desenhada sobre ela. Direita: Uma grade regular de espaço euclidiano bidimensional/tridimensional representando o "espaço de parâmetros de processo" (força/velocidade), com cada ponto da grade rotulado com valores de parâmetro. Meio: Uma estrutura fundida, visualizada como um "fibrado": com a variedade da esquerda como o "espaço base", um pequeno espaço euclidiano (como uma fibra) "cresce" a partir de cada ponto sobre ela, representando um conjunto completo de escolhas de parâmetros de processo anexadas a cada ponto de pose. Alternativamente, um diagrama de "espaço produto" pode ser usado para mostrar como os dois espaços são combinados em um espaço de dimensão superior como um produto cartesiano. Rótulos Chave: Espaço Base (Variedade de Pose), Fibra (Espaço de Parâmetros de Processo), Ponto da Variedade de Características (um ponto na fibra). Subtítulo 2 Ilustração: Mecanismo Unificado de Codificação para Informações de Processo e Trajetória Tipo de Imagem: Diagrama de Codificação de Informação. Núcleo Visual: Um ponto abstrato da variedade de características (que pode ser representado como uma esfera de dados luminosa ou um cubo de alta dimensão) está localizado no centro. Dois caminhos de decodificação claros emanam deste ponto: O Caminho 1 aponta para um diagrama de modelo de pose de um robô/ferramenta (incluindo posição e orientação). O Caminho 2 aponta para um diagrama de painel de parâmetros de processo (exibindo valores de força específicos, valores de velocidade e curvas). Ao mesmo tempo, setas fluindo para o ponto indicam que os dois tipos de informação acima estão conjuntamente encapsulados neste único ponto da variedade. Rótulos Chave: Codificação Unificada, Informação de Pose (x, y, z, Rx, Ry, Rz), Informação de Processo (F, n). Subtítulo 3 Ilustração: Introdução de Ferramentas Geométricas como Espaço Tangente e Derivada Covariante Tipo de Imagem: Diagrama de Geometria Diferencial. Núcleo Visual: Mostra uma curva (representando uma trajetória) na variedade de características (uma superfície suave). Selecione um ponto P na curva e desenhe o plano tangente naquele ponto (ou seja, o espaço tangente T_pM), com múltiplos vetores tangentes no plano. Demonstre o conceito de derivada covariante: um campo vetorial ao longo da direção da curva, onde um vetor é "transportado paralelamente" para um ponto adjacente, mostrando a mudança de sua direção sob a geometria intrínseca da variedade. A diferença entre a derivada ordinária no espaço euclidiano (direção inalterada) e a derivada covariante na variedade (direção afetada pela curvatura da superfície) pode ser mostrada por comparação. Rótulos Chave: Ponto P, Espaço Tangente T_pM, Vetor Tangente, Derivada Covariante ∇_v u, Variedade M. Título 2: Representação Geométrica e Análise Quantitativa de Trajetórias Conformes de Força-Velocidade Subtítulo 1 Ilustração: Representação Geométrica de Curvatura e Torção da Suavidade da Trajetória Tipo de Imagem: Diagrama de Análise de Geometria de Curva. Núcleo Visual: Desenhe uma curva de trajetória conforme de força-velocidade distinta na superfície da variedade de características. Selecione múltiplos pontos na curva em intervalos e desenhe um triedro de Frenet em cada ponto: vetor tangente T (apontando para a direção do movimento), vetor normal N (apontando para a ""
