![PSFデータ処理におけるPCAモデル学習の具体的な実装プロセスは以下の通りです。
1. **データ行列の構築:** 標準化されたPSF画像をベクトルに平坦化し、データ行列 \(X_{\text{scaled}} \in \mathbb{R}^{N \times D}\) を形成します。
2. **特異値分解 (SVD):** ライブラリの実装では、共分散行列の固有値分解を直接計算する代わりに、SVD最適化を使用します。平坦化された画像行列 \(X_{\text{scaled}}\) に対してSVD分解を実行します: \(X_{\text{scaled}} = U \Sigma V^\top\)。ここで、右特異ベクトル \(V \in \mathbb{R}^{D \times D}\) の列ベクトルは主成分方向であり、特異値 \(\sigma_k^2\) の二乗は固有値 \(\lambda_k\) に比例します。
3. **主成分の選択:** 固有値の大きさに基づいて主成分をソートし、上位 \(K\) 個の主成分を選択します。これらの主成分は射影行列 \(V_K = [v_1, v_2, ..., v_K] \in \mathbb{R}^{D \times K}\) を構成します。ここで、\(v_1\) は最大分散の方向に対応し、\(v_2\) はその次に対応し、以下同様です。
4. **次元削減と係数抽出:** 中心化されたデータを低次元空間に投影します: \(Z = X_{\text{centered}} V_K \in \mathbb{R}^{N \times K}\)。ここで、\(Z\) の各行は、主成分空間における対応するPSFの係数（「スコア」とも呼ばれます）です。
このプロセスを図式化した図を描いてください。シェーディングや透かしは不要で、SCIジャーナル論文の要件を満たすカラースタイルでお願いします。](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fpub-8c0ddfa5c0454d40822bc9944fe6f303.r2.dev%2Fai-drawings%2FVSt6TNY52kYACNod5QcmZwP8nP4PfcsA%2F284075ba-a796-4c71-9eeb-4dbea1d89ee4%2Fa852e641-9a39-4397-90cd-d4d710834d23.png&w=3840&q=75)
Promptの説明
PSFデータ処理におけるPCAモデル学習の具体的な実装プロセスは以下の通りです。 1. **データ行列の構築:** 標準化されたPSF画像をベクトルに平坦化し、データ行列 \(X_{\text{scaled}} \in \mathbb{R}^{N \times D}\) を形成します。 2. **特異値分解 (SVD):** ライブラリの実装では、共分散行列の固有値分解を直接計算する代わりに、SVD最適化を使用します。平坦化された画像行列 \(X_{\text{scaled}}\) に対してSVD分解を実行します: \(X_{\text{scaled}} = U \Sigma V^\top\)。ここで、右特異ベクトル \(V \in \mathbb{R}^{D \times D}\) の列ベクトルは主成分方向であり、特異値 \(\sigma_k^2\) の二乗は固有値 \(\lambda_k\) に比例します。 3. **主成分の選択:** 固有値の大きさに基づいて主成分をソートし、上位 \(K\) 個の主成分を選択します。これらの主成分は射影行列 \(V_K = [v_1, v_2, ..., v_K] \in \mathbb{R}^{D \times K}\) を構成します。ここで、\(v_1\) は最大分散の方向に対応し、\(v_2\) はその次に対応し、以下同様です。 4. **次元削減と係数抽出:** 中心化されたデータを低次元空間に投影します: \(Z = X_{\text{centered}} V_K \in \mathbb{R}^{N \times K}\)。ここで、\(Z\) の各行は、主成分空間における対応するPSFの係数（「スコア」とも呼ばれます）です。 このプロセスを図式化した図を描いてください。シェーディングや透かしは不要で、SCIジャーナル論文の要件を満たすカラースタイルでお願いします。
