Título 1: Construcción y Representación del Espacio Unificado de Variedades de Características Subtítulo 1 Ilustración: Definición de Variedad de Características Basada en Espacio Producto/Fibrado Tipo de Imagen: Diagrama Conceptual (Combinación de 3D y 2D). Núcleo Visual: Izquierda: Una variedad de grupo de Lie tridimensional (por ejemplo, una superficie retorcida) que representa el "espacio de pose", con una curva de trayectoria dibujada sobre ella. Derecha: Una cuadrícula regular bidimensional/tridimensional del espacio euclidiano que representa el "espacio de parámetros de proceso" (fuerza/velocidad), con cada punto de la cuadrícula etiquetado con valores de parámetros. Centro: Una estructura fusionada, visualizada como un "fibrado": con la variedad de la izquierda como el "espacio base", un pequeño espacio euclidiano (como una fibra) "crece" desde cada punto en ella, representando un conjunto completo de opciones de parámetros de proceso adjuntas a cada punto de pose. Alternativamente, se puede usar un diagrama de "espacio producto" para mostrar cómo los dos espacios se combinan en un espacio de mayor dimensión como un producto cartesiano. Etiquetas Clave: Espacio Base (Variedad de Pose), Fibra (Espacio de Parámetros de Proceso), Punto de Variedad de Características (un punto en la fibra). Subtítulo 2 Ilustración: Mecanismo de Codificación Unificado para Información de Proceso y Trayectoria Tipo de Imagen: Diagrama de Codificación de Información. Núcleo Visual: Un punto abstracto de la variedad de características (que puede representarse como una esfera de datos luminosa o un cubo de alta dimensión) se encuentra en el centro. Dos rutas de decodificación claras emanan de este punto: La Ruta 1 apunta a un diagrama de modelo de pose de un robot/herramienta (incluyendo posición y orientación). La Ruta 2 apunta a un diagrama de panel de parámetros de proceso (que muestra valores de fuerza específicos, valores de velocidad y curvas). Al mismo tiempo, las flechas que fluyen hacia el punto indican que los dos tipos de información anteriores están encapsulados conjuntamente en este único punto de la variedad. Etiquetas Clave: Codificación Unificada, Información de Pose (x, y, z, Rx, Ry, Rz), Información de Proceso (F, n). Subtítulo 3 Ilustración: Introducción de Herramientas Geométricas como el Espacio Tangente y la Derivada Covariante Tipo de Imagen: Diagrama de Geometría Diferencial. Núcleo Visual: Muestra una curva (que representa una trayectoria) en la variedad de características (una superficie lisa). Seleccione un punto P en la curva y dibuje el plano tangente en ese punto (es decir, el espacio tangente T_pM), con múltiples vectores tangentes en el plano. Demuestre el concepto de derivada covariante: un campo vectorial a lo largo de la dirección de la curva, donde un vector se "transporta paralelamente" a un punto adyacente, mostrando el cambio de su dirección bajo la geometría intrínseca de la variedad. La diferencia entre la derivada ordinaria en el espacio euclidiano (dirección sin cambios) y la derivada covariante en la variedad (dirección afectada por la curvatura de la superficie) se puede mostrar por comparación. Etiquetas Clave: Punto P, Espacio Tangente T_pM, Vector Tangente, Derivada Covariante ∇_v u, Variedad M. Título 2: Representación Geométrica y Análisis Cuantitativo de Trayectorias Conformes de Fuerza-Velocidad Subtítulo 1 Ilustración: Representación Geométrica de Curvatura y Torsión de la Suavidad de la Trayectoria Tipo de Imagen: Diagrama de Análisis de Geometría de Curvas. Núcleo Visual: Dibuje una curva de trayectoria conforme de fuerza-velocidad distinta en la superficie de la variedad de características. Seleccione múltiples puntos en la curva a intervalos y dibuje un marco de Frenet en cada punto: vector tangente T (que apunta a la dirección del movimiento), vector normal N (que apunta a la ""
