Titel 1: Konstruktion und Darstellung eines vereinheitlichten Merkmalsraum-Manigfaltigkeit Untertitel 1 Illustration: Definition der Merkmalsraum-Manigfaltigkeit basierend auf Produktraum/Faserbündel Bildtyp: Konzeptdiagramm (Kombination aus 3D und 2D). Visueller Kern: Links: Eine dreidimensionale Lie-Gruppen-Manigfaltigkeit (z.B. eine verdrehte Oberfläche), die den "Positionsraum" darstellt, mit einer Trajektorienkurve darauf. Rechts: Ein reguläres zwei- oder dreidimensionales euklidisches Raumgitter, das den "Prozessparameterraum" (Kraft/Geschwindigkeit) darstellt, wobei jeder Gitterpunkt mit Parameterwerten beschriftet ist. Mitte: Eine fusionierte Struktur, visualisiert als "Faserbündel": mit der linken Manigfaltigkeit als "Basisraum" "wächst" von jedem Punkt auf ihr ein kleiner euklidischer Raum (wie eine Faser), der eine vollständige Menge von Prozessparameteroptionen darstellt, die jedem Positionspunkt zugeordnet sind. Alternativ kann ein "Produktraum"-Diagramm verwendet werden, um zu zeigen, wie die beiden Räume zu einem höherdimensionalen Raum wie einem kartesischen Produkt kombiniert werden. Schlüsselbeschriftungen: Basisraum (Positions-Manigfaltigkeit), Faser (Prozessparameterraum), Merkmalsraum-Manigfaltigkeitspunkt (ein Punkt auf der Faser). Untertitel 2 Illustration: Vereinheitlichter Kodierungsmechanismus für Prozess- und Trajektorieninformationen Bildtyp: Informationskodierungsdiagramm. Visueller Kern: Ein abstrakter Merkmalsraum-Manigfaltigkeitspunkt (der als leuchtende Datensphäre oder hochdimensionaler Würfel dargestellt werden kann) befindet sich im Zentrum. Zwei klare Dekodierungspfade gehen von diesem Punkt aus: Pfad 1 zeigt auf ein Positionsmodelldiagramm eines Roboters/Werkzeugs (einschließlich Position und Orientierung). Pfad 2 zeigt auf ein Prozessparameter-Dashboard-Diagramm (das spezifische Kraftwerte, Geschwindigkeitswerte und Kurven anzeigt). Gleichzeitig zeigen Pfeile, die zu dem Punkt fließen, an, dass die oben genannten zwei Arten von Informationen gemeinsam in diesem einzelnen Manigfaltigkeitspunkt enthalten sind. Schlüsselbeschriftungen: Vereinheitlichte Kodierung, Positionsinformationen (x, y, z, Rx, Ry, Rz), Prozessinformationen (F, n). Untertitel 3 Illustration: Einführung geometrischer Werkzeuge wie Tangentialraum und kovariante Ableitung Bildtyp: Differentialgeometrie-Diagramm. Visueller Kern: Zeigt eine Kurve (die eine Trajektorie darstellt) auf der Merkmalsraum-Manigfaltigkeit (einer glatten Oberfläche). Wählen Sie einen Punkt P auf der Kurve und zeichnen Sie die Tangentialebene an diesem Punkt (d.h. den Tangentialraum T_pM), mit mehreren Tangentialvektoren auf der Ebene. Demonstrieren Sie das Konzept der kovarianten Ableitung: ein Vektorfeld entlang der Richtung der Kurve, wobei ein Vektor "parallel transportiert" zu einem benachbarten Punkt wird, wodurch die Änderung seiner Richtung unter der intrinsischen Geometrie der Manigfaltigkeit gezeigt wird. Der Unterschied zwischen der gewöhnlichen Ableitung im euklidischen Raum (Richtung unverändert) und der kovarianten Ableitung auf der Manigfaltigkeit (Richtung beeinflusst durch die Krümmung der Oberfläche) kann durch Vergleich gezeigt werden. Schlüsselbeschriftungen: Punkt P, Tangentialraum T_pM, Tangentialvektor, kovariante Ableitung ∇_v u, Manigfaltigkeit M. Titel 2: Geometrische Darstellung und quantitative Analyse von Kraft-Geschwindigkeits-konformen Trajektorien Untertitel 1 Illustration: Krümmungs- und Torsionsgeometrische Darstellung der Trajektorienglätte Bildtyp: Kurvengeometrie-Analysediagramm. Visueller Kern: Zeichnen Sie eine deutliche Kraft-Geschwindigkeits-konforme Trajektorienkurve auf der Merkmalsraumoberfläche. Wählen Sie in regelmäßigen Abständen mehrere Punkte auf der Kurve aus und zeichnen Sie an jedem Punkt einen Frenet-Rahmen: Tangentialvektor T (der in die Bewegungsrichtung zeigt), Normal
